Question

【題目】已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列滿足，且是， 的等差中項(xiàng).

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設(shè)，問是否存在實(shí)數(shù)使得數(shù)列（）是單調(diào)遞增數(shù)列？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）; （Ⅲ）.

【解析】試題分析：

(Ⅰ)由題意求得， ，∴；

(Ⅱ)利用題意錯(cuò)位相減可得 ；

(Ⅲ)題中不等式轉(zhuǎn)化為，分類討論當(dāng)為大于或等于4的偶數(shù)，當(dāng)為大于或等于3的奇數(shù)時(shí)，兩種情況可得的取值范圍是.

試題解析：

（Ⅰ）設(shè)此等比數(shù)列為， ， ， ，…，其中， .

由題意知： ，①

.②

②①得，

即，解得或.

∵等比數(shù)列單調(diào)遞增，∴， ，∴；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知（），

由（），

得（），

故，即（），

當(dāng)時(shí)， ， ，∴ ；

（Ⅲ）∵，

∴當(dāng)時(shí)， ， ，

依據(jù)題意，有，

即，

①當(dāng)為大于或等于4的偶數(shù)時(shí)，有恒成立，

又隨增大而增大，

則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， ，故的取值范圍為；

②當(dāng)為大于或等于3的奇數(shù)時(shí)，有恒成立，且僅當(dāng)時(shí)， ，故的取值范圍為；

又當(dāng)時(shí)，由，得，

綜上可得，所求的取值范圍是.