Question

（13分）已知數列滿足：其中，數列滿足：

   （1）求；

   （2）求數列的通項公式；

   （3）是否存在正數k，使得數列的每一項均為整數，如果不存在，說明理由，如果存在，求出所有的k.

Answer 1

解析：（1）經過計算可知：

.

求得.…………………………………………（4分）

（2）由條件可知：.…………①

類似地有：.…………②

①-②有：.

即：.

因此：

即：故

所以：.…………………………………………（8分）

（3）假設存在正數，使得數列的每一項均為整數.

則由（2）可知：…………③

由，及可知.

當時，為整數，利用，結合③式，反復遞推，可知，，，，…均為整數.

當時，③變為………④

我們用數學歸納法證明為偶數，為整數

時，結論顯然成立，假設時結論成立，這時為偶數，為整數，故為偶數，為整數，所以時，命題成立.

故數列是整數列.

綜上所述，的取值集合是.………………………………………（13分）