Question

【題目】已知橢圓： （）的上頂點到右頂點的距離為，左焦點為，過點且斜率為的直線交橢圓于， 兩點．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程及的取值范圍；

（Ⅱ）在軸上是否存在定點，使恒為定值？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）存在定點．

【解析】試題分析：（1）運用離心率公式和焦點坐標，直接求出a，b；

（2）利用設而不求的方法，表示出，設出要求的定值，利用對應項系數成比例明確出點的坐標

試題解析：

（Ⅰ）由已知可得，得， ， ．

過點且斜率為的直線： ．

由，消去得．

則

或，

所以的取值范圍是

（Ⅱ）設， ，

則由（Ⅰ）知， ， ．

又，

．

假設存在點，則， ，

所以

，

要使得（為常數），只要，

從而，

整理得，解得，從而，

故存在定點．