Question

已知拋物線y²=2px（p＞0），有一內接直角三角形，直角頂點在坐標原點，一直角邊所在直線方程為y=2x，斜邊長等于4

13

，求拋物線的方程．

Answer 1

分析：不妨設已知直角三角形為OAB，直線OA的方程為y=2x，由題意可知OA⊥OB，從而有K_OB=-

1

kOA

，則可求直線OB的方程，聯立方程可求A的坐標，進而可求AO，同理可求OB，由勾股定理可得，AB²=OA²+OB²，代入可求P，進而可求拋物線的方程．

解答：解：如圖，設A（

y 2 A

2p

，y_A），B（

y 2 B

2p

，y_B），根據題意得：

yA= y 2 A p ，① p 2 × y 2 B 2p +pyB=0，② (xA-xB)2+(yA-yB)2=208，③

由①可得y_A=p，則x_A=

p

2

，由②可得y_B=-4p，
∴B點坐標為（8p，-4p），
由③得p=

8

5

，
因此所求拋物線方程為y²=

16

5

x．

點評：本題主要考察了直線與拋物線的相交關系及方程的根與系數的關系的應用，解題中的關鍵是由直線的垂直關系得到直線OB的斜率．