Question

橢圓C₁，拋物線(xiàn)C₂的焦點(diǎn)均在x軸上，從兩條曲線(xiàn)上各取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)混合記錄于下表中：

x	3	3	4	6
y	- 3	3	-2	2

（1）求C₁，C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)M（2，0）的直線(xiàn)l與C₂相交于A，B兩點(diǎn)，A在x軸下方，B在x軸上方，且

AM

=

1

2

MB

，求直線(xiàn)l的方程；
（3）與（2）中直線(xiàn)l平行的直線(xiàn)l₁與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，以CD為底邊作等腰△PCD，已知P點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，2），求△PCD的面積．

Answer 1

分析：（1）設(shè)拋物線(xiàn)方程為y²=mx，分別將四個(gè)點(diǎn)代入得到相同的m值兩個(gè)點(diǎn)即可，進(jìn)而將另外兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程即可得出；
（2）設(shè)直線(xiàn)l的方程為：x=my+2，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立消去x得：y²-my-2=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用根與系數(shù)的關(guān)系及向量相等

AM

=

1

2

MB

，即可得到m的值．．
（3）設(shè)直線(xiàn)l₁的方程為：y=x+t，與橢圓交于C（x₃，y₃）、D（x₄，y₄）兩點(diǎn)，中點(diǎn)為Q（x₀，y₀），則PQ為l₁的垂直平分線(xiàn)，利用“點(diǎn)差法”即可得：x₀=-3y₀，又y₀=-x₀-1，聯(lián)立解得：x₀，y₀，代入l₁的方程可得t．可得l₁的方程，利用點(diǎn)斜式即可得出PQ的方程與橢圓方程聯(lián)立即可得到C、D坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式即可|CD|=3

2

，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得：點(diǎn)P到直線(xiàn)CD（l₁）的距離h，利用S_△PCD=

1

2

|CD| ×h即可．

解答：解：（1）設(shè)拋物線(xiàn)方程為y²=mx，分別將四個(gè)點(diǎn)代入解得m=1，m=-

3

，m=1，m=

6

3

，
故拋物線(xiàn)方程為y²=x；
因此(

3

，

3

)(

6

，-

2

)兩個(gè)點(diǎn)為橢圓C₁上兩點(diǎn)，
設(shè)橢圓方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1，將上述兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)代入解得：a²=12，b²=4，
故橢圓方程為

x2

12

+

y2

4

=1．
（2）設(shè)直線(xiàn)l的方程為：x=my+2，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立：

x=my+2 y2=x

消去x得：y²-my-2=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

y1+y2=m y1y2=-2

，
又

AM

=

1

2

MB

，
∴-y1=

1

2

y2，消去y₁，y₂，
解得：m=1，
所以直線(xiàn)l的方程為：x=y+2，即x-y-2=0．
（3）設(shè)直線(xiàn)l₁的方程為：y=x+t，與橢圓交于C（x₃，y₃）、D（x₄，y₄）兩點(diǎn)，中點(diǎn)為Q（x₀，y₀），
則PQ為l₁的垂直平分線(xiàn)，
C、D在橢圓上可得：

x 2 3 +3 y 2 3 =12 x 2 4 +3 y 2 4 =12

化為（x₃+x₄）（x₃-x₄）+3（y₃+y₄）（y₃-y₄）=0，
把x0=

x3+x4

2

，y0=

y3+y4

2

，1=

y3-y4

x3-x4

．代入可得：x₀=-3y₀，又y₀=-x₀-1，
聯(lián)立解得：x₀=-

3

2

，y₀=

1

2

，代入l₁的方程，t=2．
∴l(xiāng)₁的方程為：y=x+2，
∴PQ的方程為y-

1

2

=-(x+

3

2

)，化為y=-x-1．
聯(lián)立

y=x+2 x2+3y2=12

，解得

x=0 y=2

，

x=-3 y=-1

，C、D坐標(biāo)，
∴|CD|=

(-3-0)2+(-1-2)2

=3

2

，點(diǎn)P到直線(xiàn)CD（l₁）的距離h=

3

2

．
∴S_△PCD=

1

2

|CD| ×h=

1

2

×3

2

×

3

2

=

9

2

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓與拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、“點(diǎn)差法”、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式、兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式、三角形的面積公式等是解題的關(guān)鍵．