Question

【題目】如圖所示的幾何體中，四邊形是菱形，是矩形，平面，，，，為的中點．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）設為線段上的動點，二面角的平面角的大小為30°，求線段的長．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析：（Ⅱ）；（Ⅲ）．

【解析】

（Ⅰ）由已知可得四邊形為平行四邊形，連，與交于，則點為的中點，連，結合已知可證，即可證明結論；

（Ⅱ）由已知可得，以為坐標原點建立空間直角坐標系，確定的坐標，求出平面一個法向量坐標，按照空間向量線面角公式即可求解；

（Ⅲ）設，求出平面一個法向量的坐標，取平面的法向量為，按照空間向量的面面角公式，即可求出結論.

（Ⅰ）四邊形是菱形，是矩形，

，

四邊形為平行四邊形，連，與交于，

則點為的中點，連，為的中點，

平面，平面，

平面；

（Ⅱ）四邊形是菱形，，為的中點，

，又平面，

以為坐標原點，所在的直線分別為軸，

建立空間直角坐標系，，

，

，

設平面的法向量為，則
，即,

令，則，

平面的一個法向量為，

設直線與平面所成角為，

則，

直線與平面所成角的正弦值為.

（Ⅲ）設，

，設平面的法向量為，

則，即，

令，則，

所以平面的一個法向量為，

又是平面的一個法向量，

所以，

解得或（舍去），

所以線段的長為.