Question

已知點列A_n（x_n，0），n∈N^*，其中x₁=0，x₂=2，A₃是線段A₁A₂的中點，A₄是線段A₂A₃的中點，…，A_n是線段A_n-2A_n-1的中點，…，
（Ⅰ）寫出x_n與x_n-1、x_n-2之間的關系式（n≥3）；
（Ⅱ）設a_n=x_n+1-x_n，計算a₁，a₂，a₃，由此推測數列{a_n}的通項公式，并加以證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據題意，A_n是線段A_n-2A_n-1的中點，可得x_n與x_n-1、x_n-2之間的關系式，
（Ⅱ）由題意知a₁=2，a₂=-1，a₃=

1

2

，由此推測：a_n=2•（-

1

2

）^n-1（n∈N^*）再進行證明．

解答：解：（Ⅰ）根據題意，A_n是線段A_n-2A_n-1的中點，則有
當n≥3時，x_n=

xn-1+xn-2

2

．
（Ⅱ）因為x₁=0，x₂=2，a₁=x₂-x₁=2，a₂=x₃-x₂=

x2+x1

2

-x₂=-

1

2

（x₂-x₁）=-

1

2

×2=-1，
a₃=x₄-x₃=

x3+x2

2

-x₃=-

1

2

（x₃-x₂）=-

1

2

（-1）=

1

2

，
由此推測：a_n=2•（-

1

2

）^n-1=

2

(-2)n-1

（n∈N^*）．
證明如下：因為a₁=a＞0，且a_n=x_n+1-x_n=

xn+xn-1

2

-x_n=

xn+xn-1

2

=-

1

2

（x_n-x_n-1）
=-

1

2

a_n-1（n≥2），
所以a_n=2•（-

1

2

）^n-1=

2

(-2)n-1

．

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要注意公式的靈活運用．考查遞推關系式的應用．