Question

已知點列A_n（x_n，0）滿足：，其中n∈N，又已知x=-1，x₁=1，a＞1．
（1）若x_n+1=f（x_n）（n∈N^*），求f（x）的表達式；
（2）已知點B，記a_n=|BA_n|（n∈N^*），且a_n+1＜a_n成立，試求a的取值范圍；
（3）設（2）中的數列a_n的前n項和為S_n，試求：．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用向量的數量積公式可得（x_n+1）（x_n+1-1）=a-1，從而可得函數的表達式；
（2）利用a_n=|BA_n|及，將問題轉化為要使a_n+1＜a_n成立，只要，從而可求參數的范圍；
（3）利用（2）中的結論可得，從而求和，利用1＜a≤9得，從而得證．
解答：解：（1）∵A（-1，0），A₁（1，0），∴，
∴（x_n+1）（x_n+1-1）=a-1，∴，
∴．（3分）
（2）∵，a＞1，∴x_n＞1，∴x_n+1＞2
∵，∴．
∵=
∴要使a_n+1＜a_n成立，只要，即1＜a≤9
∴a∈（1，9]為所求．（6分）
（3）∵…＜，
∴（9分）
∴=
（11分）
∵1＜a≤9，∴，∴（13分）
∴＜＜
∴（14分）
點評：本題主要考查了數列與向量的綜合運用，是各地高考的熱點，綜合性較強，考查了學生對知識的綜合運用和全面掌握，平常應多加訓練．