Question

f（x）=lg

1+2x+…+(n-1)x+nxa

n

，其中a是實數，n是任意自然數且n≥2．
（Ⅰ）如果f（x）當x∈（-∞，1]時有意義，求a的取值范圍；
（Ⅱ）如果a∈（0，1]，證明2f（x）＜f（2x）當x≠0時成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）、f（x）當x∈（-∞，1]時有意義的條件是1+2^x+…+（n-1）^x+n^xa＞0，x∈（-∞，1]，n≥2，即a＞-[(

1

n

)x+(

2

n

)x+…(

n-1

n

)x]，x∈(-∞，1]，然后由函數的單調性求實數a的取值范圍．
（Ⅱ）、欲證如果a∈（0，1]，證明2f（x）＜f（2x）當x≠0時成立，只需證明n≥2時，[1+2^x+…+（n-1）^x+n^xa]²＜n[1+2^2x+…+（n-1）^2x+n^2xa]，a∈（0，1]，x≠0即可得證．

解答：解：（Ⅰ）f（x）當x∈（-∞，1]時有意義的條件是1+2^x+…+（n-1）^x+n^xa＞0，x∈（-∞，1]，n≥2，
即a＞-[(

1

n

)x+(

2

n

)x+…(

n-1

n

)x]，x∈(-∞，1]，
∵-(

k

n

)x(k=1，2，…，n-1)在(-∞，1]上都是增函數，
∴-[(

1

n

)x+(

2

n

)x+…(

n-1

n

)x]在（-∞，1]上也是增函數，
從而它在x=1時取得最大值-(

1

n

+

2

n

+…

n-1

n

)=-

1 2 n(n-1)

n

=-

1

2

(n-1)．
所以a＞-[(

1

n

)x+(

2

n

)x+…(

n-1

n

)x]，x∈(-∞，1]，
∵-(

k

n

)x(k=1，2，…，n-1)在(-∞，1]等價于a＞-

1

2

(n-1)，
故a的取值范圍是{a|a＞-

1

2

}．
（Ⅱ）證明：只需證明n≥2時，[1+2^x+…+（n-1）^x+n^xa]²
＜n[1+2^2x+…+（n-1）^2x+n^2xa]，a∈（0，1]，x≠0．
∵（a₁+a₂+…+a_n²）²=（a₁²+a₂²+…a_n²）+2（a₁a₂+a₂a₃+…+a_n-1a_n）
≤（a₁²+a₂²+…a_n²）+[（a₁²+a₂²）+…+（a₁²+a_n²）]+[（a₂²+a₃²）
+…+（a₂²+a_n²）]+…+[（a_n-2²+a_n-1²）+（a_n-2²+a_n²）]+（a_n-1²+a_n²）
=n（a₁²+a₂²+…+a_n²）．
于是（a₁+a₂+…+a_n）²≤n（a₁²+a₂²+…+a_n²）當a₁=a₂=…=a_n時成立．
利用上面結果知，當a=1，x≠0時，因1≠2^x，
所以有[1+2^x+…+（n-1）^x+n^xa]²＜n[1+2^2x+…+（n-1）^2x+n^2xa]，a∈（0，1]，
當0＜a＜1，x≠0時，因a²＜a，
所以有[1+2^x+…+（n-1）^x+n^xa]²＜n[1+2^2x+…+（n-1）^2x+n^2xa]，
即有2f（x）＜f（2x）a∈（0，1]，x≠0．

點評：本題是比較難的對數函數的綜合題，在解題過程中要注意等價轉化思想的靈活運用，并且細心運算，避免不必要的錯誤．