Question

【題目】如圖，AC⊥BC，O為AB中點，且DC⊥平面ABC，DC∥BE.已知AC＝BC＝DC＝BE＝2.

（1）求直線AD與CE所成角；

（2）求二面角O-CE-B的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）60°（2 ）

【解析】

（1）先根據題意建立空間直角坐標系，求得向量和向量的坐標，再利用線線角的向量方法求解.

（2）易知平面BCE的一個法向量為＝(0，1，0)，再求得平面OCE的一個法向量，利用面面角的向量方法求解.

（1）因為AC⊥CB且DC⊥平面ABC，

則以C為原點，CB為x軸正方向，CA為y軸正方向，CD為z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．

因為AC＝BC＝BE＝2，

則C(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，2，0)，O(1，1，0)，E(2，0，2)，D(0，0，2)

所以 ＝(0，－2，2)，＝(2，0，2)

所以cos〈，〉＝ ＝＝.

所以直線AD和CE的夾角為60°.

（2） 易知平面BCE的一個法向量為＝(0，1，0)，

設平面OCE的法向量＝(x0，y0，z0)．

由＝(1，1，0)，＝(2，0，2)且⊥，⊥，

得則

解得

取x0＝－1，則＝(－1，1，1)．

因為二面角O-CE-B為銳二面角，記為θ，

則cosθ＝|cos〈，〉|＝＝.