Question

（2008年中國北京奧運會吉祥物由5個“中國福娃”組成，分別叫貝貝、晶晶、歡歡、迎迎、妮妮．現(xiàn)有8個相同的盒子，每個盒子中放一只福娃，每種福娃的數(shù)量如下表：

福娃名稱	貝貝	晶晶	歡歡	迎迎	妮妮
數(shù)量	1	2	3	1	1

從中隨機地選取5只．
（1）求選取的5只恰好組成完整“奧運吉祥物”的概率；
（2）若完整地選取奧運會吉祥物記100分；若選出的5只中僅差一種記80分；差兩種記60分；以此類推．設(shè)ξ表示所得的分數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）本題是一個古典概型，試驗發(fā)生包含的事件是從8只吉祥物中選5只，滿足條件的事件是選取的5只恰好組成完整“奧運吉祥物”，共有C₂¹C₃¹種結(jié)果，根據(jù)古典概型的概率公式得到結(jié)果．
（2）ξ表示所得的分數(shù)，則ξ的取值為100，80，60，40．結(jié)合變量對應(yīng)的事件，根據(jù)古典概型的概率公式和互斥事件的概率公式得到變量的分布列和期望．

解答：解：（1）由題意知本題是一個古典概型，
試驗發(fā)生包含的事件是從8只吉祥物中選5只，共有C₈⁵種結(jié)果，
滿足條件的事件是選取的5只恰好組成完整“奧運吉祥物”，共有C₂¹C₃¹種結(jié)果
∴選取的5只恰好組成完整“奧運吉祥物”的概率P=

C 1 2 • C 1 3

C 5 8

=

6

56

=

3

28

．
（2）由題意知ξ表示所得的分數(shù)，則ξ的取值為100，80，60，40．
根據(jù)古典概型的概率公式和互斥事件的概率公式得到
P(ξ=100)=

C 1 2 • C 1 3

C 5 8

=

3

28

；
P(ξ=80)=

C 2 3 ( C 2 2 • C 1 3 + C 1 2 • C 2 3 )+ C 3 3 •( C 2 2 + C 2 3 )

C 5 8

=

31

56

；P(ξ=60)=

C 1 3 ( C 2 2 • C 2 3 + C 1 2 • C 3 3 )+ C 2 3 • C 3 3

C 5 8

=

18

56

=

9

28

；
P(ξ=40)=

C 2 2 • C 3 3

C 5 8

=

1

56

．
∴ξ的分布列為

∴Eξ=

300

28

+

2480

56

+

540

28

+

40

56

=75．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查古典概型的概率公式，考查對于實際問題的理解能力，是一個綜合題目，這種題目一般是一個送分題目．