Question

【題目】已知函數(為常數)，曲線在與軸的交點A處的切線與軸平行．

(1)求的值及函數的單調區間；

(2)若存在不相等的實數使成立，試比較與的大小．

Answer 1

【答案】（1）a=2,在區間(－∞，ln 2)上單調遞減，在(ln 2，＋∞)上單調遞增．（2）x1＋x2＜2ln 2

【解析】

(1)由導數的幾何意義得到，求出a的值，再求函數的單調區間.(2) 令g(x)＝ (x)－(2ln 2－x)＝ex－－4x＋4ln 2(x≥ln 2)，

利用導數得到函數g(x) 在(ln 2，＋∞)上單調遞增，即(x)＞(2ln 2－x)，不妨設x1＜ln 2＜x2，所以(x2)＞(2ln 2－x2)，再證明x1＋x2＜2ln 2．

(1)由，

得．且f(x)與y軸交于A(0.0)

所以，所以a=2，

所以,．

由＞0，得x＞ln 2．

所以函數在區間(－∞，ln 2)上單調遞減，在(ln 2，＋∞)上單調遞增．

(2)證明：設x＞ln 2，所以2ln 2－x＜ln 2，

(2ln 2－x)＝e(2ln 2－x)－2(2ln 2－x)－1

＝＋2x－4ln 2－1．

令g(x)＝ (x)－(2ln 2－x)＝ex－－4x＋4ln 2(x≥ln 2)，

所以g′(x)＝ex＋4e－x－4≥0，

當且僅當x＝ln 2時，等號成立，

所以g(x)＝(x)－(2ln 2－x)在(ln 2，＋∞)上單調遞增．

又g(ln 2)＝0，所以當x＞ln 2時，g(x)＝(x)－(2ln 2－x)＞g(ln 2)＝0，

即(x)＞(2ln 2－x)，不妨設x1＜ln 2＜x2，所以(x2)＞(2ln 2－x2)，

又因為(x1)＝(x2)，所以(x1)＞(2ln 2－x2)，

由于x2＞ln 2，所以2ln 2－x2＜ln 2，

因為x1＜ln 2，由(1)知函數y＝(x)在區間(－∞，ln 2)上單調遞減，

所以x1＜2ln 2－x2，

即x1＋x2＜2ln 2．