Question

已知函數
（1）若，試確定函數的單調區間；
（2）若且對任意，恒成立，試確定實數的取值范圍；
（3）設函數，求證：

Answer 1

（1）遞增區間；遞減區間；（2）；（3）詳見解析

解析試題分析：（1）定義域為，求并解不等式得單調遞增區間；解不等式，得單調遞減區間；（2）因為是偶函數，故不等式對恒成立，只需求函數（）的最小值即可，先求的根，得，當時，將定義域分段并分別考慮兩側導數符號，進而求最小值；當時，函數單調，利用單調性求最小值；（3），觀察所要證明不等式，左邊可看成，
，……這n對的積，只需證明每對的積大于即可.
試題解析：（1），令，解得，當時，，在單調遞增；當時，，在單調遞減 .
（2）為偶函數，恒成立等價于對恒成立.
當時，，令，解得
①當，即時，在減，在增
，解得，
②當，即時，，在上單調遞增，
，符合，  綜上，
（3） 
  
  
考點：1、導數在單調性上的應用；2、導數在極值和最值方面的應用；3、不等式放縮法證明.