Question

學習了圓錐曲線及其方程后，對于一個一般的二元二次方程：Ax²+Cy²+Dx+Ey+F=0（A，C，D，E，F為常數），請你寫出一個它分別表示
①直線； ②圓； ③橢圓； ④雙曲線； ⑤拋物線的必要條件．

Answer 1

分析：①方程Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0表示直線，必有A=C=0，D，E不全為零； 或A•C＜0，D，E，F全為零，利用充要條件的判定方法判定即可．
②方程Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0表示圓，必有A=C≠0，B=0并且D²+E²-4F＞0，利用充要條件的判定方法判定即可．
③方程Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0表示橢圓，必有A•C＞0， A≠C，

D2

4A2

+

E2

4C2

-F＞0，利用充要條件的判定方法判定即可．
④方程Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0表示雙曲線，必有A•C＜0，

D2

4A2

+

E2

4C2

-F≠0，利用充要條件的判定方法判定即可．
⑤方程Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0表示拋物線，必有A=0且CD≠0； 或C=0且AE≠0，利用充要條件的判定方法判定即可．

解答：解：①方程表示直線，其二次項系數必為0或可分解成兩個一次因式的積的形式，故其必要條件：A=C=0，D，E不全為零； 或A•C＜0，D，E，F全為零；
②方程表示圓，其二次項系數必須相等且不為0，故其必要條件：A=C，D²+E²-4AF＞0；
③方程表示橢圓其二次項系數必須同號，故必要條件：A•C＞0， A≠C， 

D2

4A2

+

E2

4C2

-F＞0；
④方程表示雙曲線其二次項系數必須異號，故必要條件：A•C＜0，

D2

4A2

+

E2

4C2

-F≠0；
⑤方程表示拋物線其二次項系數必須有一個為0，另一個不為0，故必要條件：A=0且CD≠0； 或C=0且AE≠0．

點評：本題考查二元二次方程表示①直線； ②圓； ③橢圓； ④雙曲線； ⑤拋物線的條件，充要條件的判定方法．是基礎題．