Question

我們給出如下定義：對函數y=f（x），x∈D，若存在常數C（C∈R），對任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使得

f(x1)+f(x2)

2

=C，則稱函數f（x）為“和諧函數”，稱常數C為函數f（x）的“和諧數”．
（1）判斷函數f（x）=x+1，x∈[-1，3]是否為“和諧函數”？答：

是

．（填“是”或“否”）如果是，寫出它的一個“和諧數”：

2

．
（2）請先學習下面的證明方法：
證明：函數g（x）=lgx，x∈[10，100]為“和諧函數”，

3

2

是其“和諧數”．
證明過程如下：對任意x₁∈[10，100]，令

g(x1)+g(x2)

2

=

3

2

，即

lgx1+lgx2

2

=

3

2

，
得x2=

1000

x1

．∵x₁∈[10，100]，∴x2=

1000

x1

∈[10，100]．即對任意x₁∈[10，100]，存在唯一的x2=

1000

x1

∈[10，100]，使得

g(x)+g(x2)

2

=

3

2

．∴g（x）=lgx為“和諧函數”，

3

2

是其“和諧數”．
參照上述證明過程證明：函數h（x）=2^x，x∈（1，3）為“和諧函數”；
（3）寫出一個不是“和諧函數”的函數，并作出證明．

Answer 1

分析：（1）根據題目対“和諧函數”的定義，對任意x₁∈[-1，3]，令

f(x1)+f(x2)

2

=2，得x₂=2-x₁，而x₂∈[-1，3]，即對任意的x₁∈[-1，3]，存在唯一的x₂=2-x₁∈[-1，3]，使得

f(x1)+f(x2)

2

=2，即可得正確結果
（2）參照上述證明過程，對任意x₁∈（1，3），令

2x1+2x2

2

=5，得 2x2=10-2x1，x2=log2(10-2x1)∈（1，3），即可證明函數h（x）=2^x，x∈（1，3）為“和諧函數”
（3）分c＜0和c≥0兩種情況討論，對任意的x₁∈R，不存在唯一的x₂∈R，使

x12+x22

2

=C成立，所以函數u（x）=x²，x∈R不是“和諧函數”

解答：解：（1）∵對任意x₁∈[-1，3]，令

f(x1)+f(x2)

2

=2，得x₂=2-x₁，∴x₂∈[-1，3]，即對任意的x₁∈[-1，3]，存在唯一的x₂=2-x₁∈[-1，3]，使得

f(x1)+f(x2)

2

=2，
故正確答案為  是；  2
（2）由定義可知：函數h（x）=2^x，x∈（1，3）的“和諧數”為5．
對任意x₁∈（1，3），令

h(x1)+h(x2)

2

=5，即

2x1+2x2

2

=5，得2x2=10-2x1，x2=log2(10-2x1)．
∵x₁∈（1，3），∴10-2x1∈(2，8)，x2=log2(10-2x1)∈(1，3)．
即對任意x₁∈（1，3），存在唯一的x2=log2(10-2x1)∈(1，3)，使得

h(x1)+h(x2)

2

=5．
∴h（x）=2^x，x∈（1，3）為“和諧函數”，5是其“和諧數”．（10分）
（3）函數u（x）=x²，x∈R不是“和諧函數”，
證明如下：對任意的常數C，
①若C≤0，則對于x₁=1，顯然不存在x₂∈R，使得

x12+x22

2

=

1+x22

2

=C成立，
所以C（C≤0）不是函數u（x）=x²，x∈R的和諧數；
②若C＞0，則對于x1=

4C

，由

x12+x22

2

=

4C+x22

2

=C得，x₂²=-2C＜0，
即不存在x₂∈R，使

x12+x22

2

=C成立．
所以C（C＞0）也不是函數u（x）=x²，x∈R的和諧數．
綜上所述，函數u（x）=x²，x∈R不是“和諧函數”．（18分）

點評：題是新定義型函數應用題，綜合考查了閱讀理解能力，及函數定義域值域的求法等，難度較大，需要扎實的函數基本功，和邏輯基本功