Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，A是拋物線上橫坐標為4、且位于x軸上方的點，A到拋物線準線的距離等于5．過A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點為M．
（1）求拋物線方程；
（2）過M作MN⊥FA，垂足為N，求點N的坐標；
（3）以M為圓心，MB為半徑作圓M，當K（m，0）是x軸上一動點時，討論直線AK與圓M的位置關系．

Answer 1

分析：（Ⅰ）拋物線的準線為 x=-

p

2

，于是 4+

p

2

=5，p=2，由此可知拋物線方程為y²=4x．
（Ⅱ）由題意得B，M的坐標，kFA=

4

3

，kMN=-

3

4

，直線FA的方程，直線MN的方程，由此可知點N的坐標即可；
（Ⅲ）由題意得，圓M的圓心坐標為（0，2），半徑為2．當m=4時，直線AP的方程為x=4，此時，直線AP與圓M相離；當m≠4時，寫出直線AP的方程，圓心M（0，2）到直線AP的距離，由此可判斷直線AP與圓M的位置關系．

解答：解：（1）拋物線y2=2px的準線為x=-

p

2

，于是4+

p

2

=5，∴p=2．
∴拋物線方程為y²=4x．
（2）∵點A的坐標是（4，4），由題意得B（0，4），M（0，2），
又∵F（1，0），∴kFA=

4

3

；MN⊥FA，∴kMN=-

3

4

，
則FA的方程為y=

4

3

（x-1），MN的方程為y-2=-

3

4

x．*k*s*5*u
解方程組

y= 4 3 (x-1) y-2=- 3 4 x

，得

x= 8 5 y= 4 5

，∴N(

8

5

，

4

5

)．
（3）由題意得，圓M的圓心是點（0，2），半徑為2．
當m=4時，直線AK的方程為x=4，此時，直線AK與圓M相離，
當m≠4時，直線AK的方程為y=

4

4-m

(x-m)，即為4x-（4-m）y-4m=0，
圓心M（0，2）到直線AK的距離d=

|2m+8|

16+(m-4)2

，令d＞2，解得m＞1∴當m＞1時，直線AK與圓M相離；
當m=1時，直線AK與圓M相切；
當m＜1時，直線AK與圓M相交．

點評：本題考查拋物線的標準方程、拋物線的簡單性質、直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．