Question

已知f₀（x）=sinx，若f1(x)=

f

′ 0

(x)，f2(x)=

f

′ 1

(x)，f3(x)=

f

′ 2

(x)，…，fn+1(x)=

f

′ n

(x)（n∈N），則

f

2011

(

16π

3

)=

3

2

．

Answer 1

分析：先求出f₁（x）、f₂（x）、f₃（x）…，觀察所求的結果，歸納其中的周期性規律，求解即可．

解答：解：f1(x)=

f

′ 0

(x)=cosx，
f2(x)=

f

′ 1

(x)=-sinx，
f3(x)=

f

′ 2

(x)=-cosx，
f₄（x）=sinx=f₀（x）
以此類推，可得出f_n（x）=f_n+4（x），n為自然數．
f₂₀₁₁（x）=f_4×502+3（x）=f₂（x）=-sinx．
所以

f

2011

(

16π

3

)=-sin

16π

3

=-sin（4π+

4π

3

）=-sin

4π

3

=

3

2

故答案為：

3

2

點評：本題主要考查函數求導運算，合情推理的運用．易錯點容易認為f₂₀₁₁（x）=f_4×502+3（x）=f₃（x）=-cosx．