Question

【題目】已知動圓C過點（1，0），且于直線x=﹣1相切．
（1）求圓心C的軌跡M的方程；
（2）A，B是M上的動點，O是坐標原點，且 ， 求證：直線AB過定點，并求出該點坐標．

Answer 1

【答案】解：（1）動圓C過點（1，0），且與直線x=﹣1相切，
∴圓心C的軌跡M是以（1，0）為焦點的拋物線，
∴圓心C的軌跡M的方程為y2=4x；
（2）設點A，B的坐標為（x1 ， y1）、（x2 ， y2）．
∵A，B在拋物線y2=4x上，
∴y12=4x1 ， y22=4x2 ， 即x1+x2=，x1x2=．
又=-4，
∴x1x2+y1y2=﹣4，
∴+y1y2=﹣4，
∴y1y2=﹣8．
設直線AB的方程為x=my+n，
聯立消元得：y2﹣4my﹣4n=0，則：y1+y2=4m，y1y2=﹣4n，
∴﹣4n=﹣8n=2，∴直線AB的方程為x=my+2，
∴直線AB恒過定點，且定點坐標為（2，0）．
【解析】（1）利用動圓C過點（1，0），且與直線x=﹣1相切，可得圓心C的軌跡M是以（1，0）為焦點的拋物線，即可得到動點M的軌跡方程．
（2）先設點A，BD的坐標為（x1 ， y1）、（x2 ， y2），因為A，B兩點在拋物線y2=4x上，代入拋物線方程，找出每個點橫縱坐標的關系式，再因為=-4，得到x1x2+y1y2=﹣4，設直線AB的方程為x=my+t，代入拋物線方程，利用韋達定理，可求t的值，即可求出該定點P的坐標．