Question

已知：動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)F（0，1）的距離比它到直線y+2=0的距離小1，
（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）在直線y=-1上任取一點(diǎn)M作曲線C的兩條切線l₁，l₂，切點(diǎn)分別為A，B，在y軸上是否存在定點(diǎn)Q，使△ABQ的內(nèi)切圓圓心在定直線n上？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及定直線n的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）解法（一）：設(shè)P（x，y），由條件得：

x2+(y-1)2

=|y+2|-1，化簡(jiǎn)可得結(jié)論；
解法（二）：由題設(shè)發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)P（x，y）在y=-2的上方．根據(jù)點(diǎn)P（x，y）到y(tǒng)=-2的距離比它到直線y=-1的距離多1，可得點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)F（0，1）的距離等于它到直線y=-1的距離，利用拋物線的定義，即可得到結(jié)論；
（Ⅱ）設(shè)出A，B的坐標(biāo)，分別求出M的坐標(biāo)，可得x₁x₂=-4．存在定點(diǎn)Q，使△ABQ的內(nèi)切圓圓心在定直線n上，證明OQ平分∠AQB即可．

解答：解：（Ⅰ）解法（一）：設(shè)P（x，y），由條件得：

x2+(y-1)2

=|y+2|-1 …（2分）
∴x²+（y-1）²=（y+2）²-2|y+2|+1  …（3分）
 由條件知：y＞-2，∴x²-2y=4y+4-2y-4，即x²=4y，
∴點(diǎn)P的軌跡C的方程為x²=4y；…（6分）
解法（二）：由題設(shè)發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)P（x，y）在y=-2的上方．
∵點(diǎn)P（x，y）到y(tǒng)=-2的距離比它到直線y=-1的距離多1…（2分）
∴點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)F（0，1）的距離等于它到直線y=-1的距離
∴曲線C是以F（0，1）為焦點(diǎn)，直線y=-1為準(zhǔn)線的拋物線…（4分）
∴點(diǎn)P的軌跡C的方程為x²=4y…（6分）
（Ⅱ）設(shè)A(x1，

x12

4

)，x1≠0，y′=

x

2

，∴kMA=

x1

2

，直線MA：y-

x12

4

=

x1

2

(x-x1)…（7分）
令y=-1得：-1-

x12

4

=

x1x

2

-

x12

2

，∴

x1x

2

=

x12

4

-1∴x=

x1

2

-

2

x1

，∴M(

x1

2

-

2

x1

，-1)…（8分）
設(shè)B(x2，

x22

4

)，x2≠0，同理得：M(

x2

2

-

2

x2

，-1)…（9分）
∴

x1

2

-

2

x1

=

x2

2

-

2

x2

，(x1≠x2)，∴

x1

2

-

x2

2

+

2

x2

-

2

x1

=0，
∴

1

2

(x1-x2)+

2(x1-x2)

x1x2

=0
∴x₁x₂=-4…（10分）
設(shè)直線AB：y=kx+b代入y=

x2

4

得：

x2

4

=kx+b∴x2-4kx-4b=0，
∴x₁x₂=-4b=-4，x₁+x₂=4k，∴b=1…（11分）
存在點(diǎn)Q（0，-1），kAQ+kBQ=

x12 4 +1

x1

+

x22 4 +1

x2

=

x1

4

+

x2

4

+

x1+x2

x1x2

=k-

4k

4

=0…（14分）
∴OQ平分∠AQB，∴存在點(diǎn)Q（0，-1），△ABQ的內(nèi)心在定直線n：x=0上．…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求法，考查拋物線的定義，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，有難度．