Question

如圖，在正四棱錐S-ABCD中，E，M，N分別是BC，CD，SC的中點，動點P在線段MN上運動時，下列四個結論：①EP⊥AC₁；②EP∥BD；③EP∥面SBD；④EP⊥面SAC．中恒成立的為（　�。�

• A、①③
• B、③④
• C、①②
• D、②③④

Answer 1

考點：空間中直線與平面之間的位置關系,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離

分析：在①中：由已知得SO⊥AC．，AC⊥平面SBD，從而平面EMN∥平面SBD，由此得到AC⊥EP；在②中：由異面直線的定義可知：EP與BD是異面直線；在③中：由平面EMN∥平面SBD，從而得到EP∥平面SBD；在④中：由已知得EM⊥平面SAC，從而得到EP與平面SAC不垂直．

解答： 解：如圖所示，連接AC、BD相交于點O，連接EM，EN．
在①中：由正四棱錐S-ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，
∴SO⊥AC．
∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，
∵E，M，N分別是BC，CD，SC的中點，
∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=N，
∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正確．
在②中：由異面直線的定義可知：EP與BD是異面直線，
不可能EP∥BD，因此不正確；
在③中：由①可知平面EMN∥平面SBD，
∴EP∥平面SBD，因此正確．
在④中：由①同理可得：EM⊥平面SAC，
若EP⊥平面SAC，則EP∥EM，與EP∩EM=E相矛盾，
因此當P與M不重合時，EP與平面SAC不垂直．即不正確．
故選：A．

點評：本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．