Question

已知數列{a_n}的前n項的和為S_n，若na_n+1=S_n+n（n+1）且a₁=2．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）令T_n=，①當n為何值時，T_n＞T_n+1，②若對一切正整數n，總有T_n≤m，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：本題考查的是數列與不等式的綜合類問題．在解答的過程當中：
（1）首先利用條件和通項與前n項和的關系即可轉化出數列a_n的通項之間的關系，進而即可獲得數列{a_n}的通項公式；
（2）首先利用第（1）問的結論即可將T_n化簡，再利用數學歸納法判斷T_n的單調性，由單調性即可獲得①的解答，進而由單調性即可獲得的最大值從而可以結合②中的恒成立問題進行轉化即可獲得問題的解答．
解答：解：（1）由題意可知：na_n+1=S_n+n（n+1）
∴（n-1）a_n=S_n-1+（n-1）n
兩式相減可得：a_n+1-a_n=2
所以數列{a_n}為以2為首項以2為公差的等差數列．
∴a_n=2+（n-1）•2=2n
∴數列{a_n}的通項公式：a_n=2n，n∈N*
（2）由（1）知：
∴，
∴




…
可猜測當n≥3時，數列{a_n}為單調遞減數列，當n≤2時，數列{a_n}為單調遞增數列．
對“當n≥3時，數列{a_n}為單調遞減數列”證明如下：
當n=3時， 
當n=4時，，∴T₄＜T₃
假設當n=k時成立，即T_k＜T_k-1，∴
則當n=k+1時，=

=
故當n=k+1時猜測成立．綜上可知：當n≥3時，數列{a_n}為單調遞減數列，當n≤2時，數列{a_n}為單調遞增數列．
又因為：對一切正整數n，總有T_n≤m，且T_n的最大值為，所以．
∴當n≥3時，T_n＞T_n+1，
m的取值范圍為：．
點評：本題考查的是數列與不等式的綜合類問題．在解答的過程當中充分體現了數列通項與數列前n項和的知識、數列與函數的思想、單調性的研究以及恒成立問題的解答規律．值得同學們體會和反思．