Question

【題目】直角坐標系中，圓（為參數）上的每一點的橫坐標不變，縱坐標變為原來的，得到曲線．以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為．

（1）求的普通方程和的直角坐標方程；

（2）設與兩坐標軸分別相交于兩點，點在上，求的面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1），（2），

【解析】

（1）把代入直線的極坐標方程，可得 ；求出曲線的參數方程為（為參數），再消參化成普通方程；

（2）不妨設，所以，設，令點到直線的距離為，利用三角形的面積公式和三角函數的有界性，即可得答案；

（1）由得．

把代入上式可得直線的直角坐標方程為

因為圓的參數方程為（為參數）．

設為圓上任意一點，在已知的變換下變為上的點，則有

因為（為參數），所以，

曲線的參數方程為（為參數）．

可得普通方程為．

（2）不妨設，所以．

設，令點到直線的距離為，

則的面積，

當且僅當，即時，，

所以，

所以面積的最大值，相應點的坐標為．