Question

【題目】已知數列{an}滿足a1=1，a2=4，且對任意m，n，p，q∈N* ， 若m+n=p+q，則有am+an=ap+aq ． （Ⅰ）求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）設數列{ }的前n項和為Sn ， 求證： ≤Sn＜ ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：令m=1，p=n﹣1，q=2，可得：an+a1=an﹣1+a2 ， 即an﹣an﹣1=3．（n≥2）． ∴數列{an}是等差數列，公差為3．
∴an=1+3（n﹣1）=3n﹣2．
（Ⅱ）證明： = = ．
∴Sn= + +…+
= ＜ ．
另一方面：數列 單調遞增，∴Sn≥S1= ．
∴ ≤Sn＜
【解析】（I）令m=1，p=n﹣1，q=2，可得：an+a1=an﹣1+a2 ， 即an﹣an﹣1=3．（n≥2）．利用等差數列的通項公式即可得出．（II） = = ．利用裂項求和方法與數列的單調性即可證明．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．