Question

【題目】已知函數f（x）=x3﹣3ax2﹣9a2x+a3 ． 若a＞ ，且當x∈[1，4a]時，|f′（x）|≤12a恒成立，則a的取值范圍為（ ）
A.（ ， ]
B.（ ，1]
C.[﹣ ，1]
D.[0， ]

Answer 1

【答案】A
【解析】解：f′（x）=3x2﹣6ax﹣9a2的圖象是一條開口向上的拋物線，關于x=a對稱． 若 ＜a≤1，則f′（x）在[1，4a]上是增函數，
從而（x）在[1，4a]上的最小值是f′（1）=3﹣6a﹣9a2 ， 最大值是f′（4a）=15a2 ．
由|f′（x）|≤12a，得﹣12a≤3x2﹣6ax﹣9a2≤12a，于是有3﹣6a﹣9a2≥﹣12a，且f′（4a）=15a2≤12a．
由f′（1）≥﹣12a得﹣ ≤a≤1，由f′（4a）≤12a得0≤a≤ ．
所以a∈（ ，1]∩[﹣ ，1]∩[0， ]，即a∈（ ， ]．
若a＞1，則∵|f′（a）|=15a2＞12a．故當x∈[1，4a]時|f′（x）|≤12a不恒成立．
所以使|f′（x）|≤12a（x∈[1，4a]）恒成立的a的取值范圍是（ ， ]，
故選：A．
【考點精析】關于本題考查的函數的最大(小)值與導數，需要了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．