Question

【題目】已知拋物線C：y=（x+1）2與圓 （r＞0）有一個公共點A，且在A處兩曲線的切線為同一直線l．
（1）求r；
（2）設m，n是異于l且與C及M都相切的兩條直線，m，n的交點為D，求D到l的距離．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設A（x0，（x0+1）2），

∵y=（x+1）2，y′=2（x+1）

∴l的斜率為k=2（x0+1）

當x0=1時，不合題意，所以x0≠1

圓心M（1， ），MA的斜率 ．

∵l⊥MA，∴2（x0+1）× =﹣1

∴x0=0，∴A（0，1），

∴r=|MA|= ；

（2）

解：設（t，（t+1）2）為C上一點，則在該點處的切線方程為y﹣（t+1）2=2（t+1）（x﹣t），即y=2（t+1）x﹣t2+1

若該直線與圓M相切，則圓心M到該切線的距離為

∴

∴t2（t2﹣4t﹣6）=0

∴t0=0，或t1=2+ ，t2=2﹣

拋物線C在點（ti，（ti+1）2）（i=0，1，2）處的切線分別為l，m，n，其方程分別為

y=2x+1①，y=2（t1+1）x﹣ ②，y=2（t2+1）x﹣ ③

②﹣③：x=

代入②可得：y=﹣1

∴D（2，﹣1），

∴D到l的距離為

【解析】（1）設A（x0 ， （x0+1）2），根據y=（x+1）2 ， 求出l的斜率，圓心M（1， ），求得MA的斜率，利用l⊥MA建立方程，求得A的坐標，即可求得r的值；（2）設（t，（t+1）2）為C上一點，則在該點處的切線方程為y﹣（t+1）2=2（t+1）（x﹣t），即y=2（t+1）x﹣t2+1，若該直線與圓M相切，則圓心M到該切線的距離為 ，建立方程，求得t的值，求出相應的切線方程，可得D的坐標，從而可求D到l的距離．
【考點精析】掌握點到直線的距離公式是解答本題的根本，需要知道點到直線的距離為：．