Question

【題目】平面直角坐標系中，圓M與y軸相切，并且經過點，．

（1）求圓M的方程;

（2）過點作圓M的兩條互垂直的弦AC、BD，求四邊形ABCD面積的最大值．

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 最大值為5．

【解析】

（1）通過分析題意，可設圓心坐標為，再通過待定系數法即可求得。

（2）若采用直線方程和圓的方程聯立求解相對較為復雜，可采用將題設條件轉化為圓心到直線距離問題，結合勾股定理可大大簡化運算，最后再結合均值不等式進行求解。

解：（1）由題意，M在線段PQ的垂直平分線（即x軸）上，設；

由圓M與y軸相切，所以圓M的半徑為，

圓M的標準方程為，

代入，解得，所以圓M的方程為.

（2）設圓心M到直線AC，BD的距離分別為m，n，則，

且，，

四邊形ABCD的面積

因為，且m，n均為非負數，所以，

當且僅當，等號成立；

綜上，四邊形ABCD面積的最大值為5．