Question

A．如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，弧AB=弧AD，過A點的切線交CB的延長線于E點．
求證：AB²=BE•CD．
B．已知矩陣M

2 -3 1 -1

所對應的線性變換把點A（x，y）變成點A′（13，5），試求M的逆矩陣及點A的坐標．
C．已知圓的極坐標方程為：ρ2-4

2

ρcos(θ-

π

4

)+6=0．
（1）將圓的極坐標方程化為直角坐標方程；
（2）若點P（x，y）在該圓上，求x+y的最大值和最小值．
D．解不等式|2x-1|＜|x|+1．

Answer 1

分析：A：連接AC．因為EA切⊙O于A，所以∠EAB=∠ACB．因為弧AB=弧AD，所以AB=AD．∠EAB=∠ACD．由題設條件推導出△ABE∽△CDA，從而證明出AB²=BE•CD．
B：依題意得由M=

2-3 1-1

，得|M|=1，故M-1=

-13 -12

，再由矩陣方程能求出點A的坐標．
C：（1）ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，轉換得x²+y²-4x-4y+6=0．
（2）圓的參數方程為

x=2+ 2 cosα y=2+ 2 sinα

(α∈R)，由此能求出x+y的最大值和最小值．
D：當x＜0時，x不存在；當0≤x＜

1

2

時，解得0＜x＜

1

2

；當x≥

1

2

，解得

1

2

≤x＜2，由此能得到原不等式的解集．

解答：A 證明：連接AC．
因為EA切⊙O于A，所以∠EAB=∠ACB．
因為弧AB=弧AD，所以∠ACD=∠ACB，AB=AD．
于是∠EAB=∠ACD．
又四邊形ABCD內接于⊙O，所以∠ABE=∠D．
所以△ABE∽△CDA．
于是

AB

CD

=

BE

DA

，即AB•DA=BE•CD
所以AB²=BE•CD．

B 解：依題意得
由M=

2-3 1-1

，得|M|=1，故M-1=

-13 -12

，
從而由

2-3 1-1

x y

=

13 5

得

x y

=

-13 -12

13 5

=

-1×13+3×5 -1×13+2×5

=

2 -3

故

x=2 y=-3

即A（2，-3）為所求．

C 解：（1）ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，轉換得x²+y²-4x-4y+6=0．
（2）圓的參數方程為

x=2+ 2 cosα y=2+ 2 sinα

（α∈R），
所以x+y=4+2sin(α+

π

4

)，那么x+y的最大值為6，最小值為2．

D 解：當x＜0時，原不等式可化為-2x+1＜-x+1，解得x＞0
又∵x＜0，∴x不存在；
當0≤x＜

1

2

時，原不等式可化為-2x+1＜x+1，解得x＞0
又∵0≤x＜

1

2

，∴0＜x＜

1

2

；當x≥

1

2

，∴

1

2

≤x＜2
綜上，原不等式的解集為{x|0＜x＜2}．

點評：本題考查二階行列式、圓的性質、極坐標和含絕對值的不等式，解題時要注意公式的靈活運用．