Question

如圖，四邊形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=

2

，BD⊥CD．將四邊形ABCD沿對角線BD折成四面體A′-BCD，使平面A'BD⊥平面BCD，則BC與平面A′CD所成的角的正弦值為

3

3

．

Answer 1

分析：先證明BA′⊥平面A′CD，可得∠BCA′為BC與平面A′CD所成的角，即可求出BC與平面A′CD所成的角的正弦值．

解答：解：∵A′B=A′D=1，BD=

2

，∴A′B²+A′D²=BD²
∴BA′⊥A′D
∵平面A'BD⊥平面BCD，BD⊥CD，平面A'BD∩平面BCD=BD
∴CD⊥平面A'BD
∵BA′?平面A'BD
∴BA′⊥CD
∵A′D∩CD=D
∴BA′⊥平面A′CD
∴∠BCA′為BC與平面A′CD所成的角
∵CD=1，BD=

2

，
∴BC=

3

∴BC與平面A′CD所成的角的正弦值為

1

3

=

3

3

故答案為：

3

3

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的性質及線面垂直的判定與性質，其中利用面面垂直的性質定理，確定BA′⊥平面A′CD是解答本題的關鍵．