Question

【題目】在 中，內角 ， ， 所對的邊分別為 ， ， ，已知 ， .
（1）當 時，求 的面積；
（2）求 周長的最大值.

Answer 1

【答案】
（1）解：由條件得： ，∴ ，∴ .① 時， ， ，∴ ，② 時， ，∴ ， ，∴ .

∴ 或

（2）解：設 的外接圓半徑為 ，∴由正弦定理得： ，∴ ，∴周長 .∵ ，∴ ，

∴ ，∴ ，

∴ ，

∵ ，∴ ∴ ，

∴

【解析】(1)根據題意利用三角恒等變換化簡已知的代數式可得sin A sin ( B C ) = sin 2 B，結合三角形的內角和為由誘導公式求出 sin ( B + C ) sin ( B C ) = sin 2 B ，利用兩角和差的正弦公式整理可得 2 cos B sin C = 2 sin B cos B，分情況討論cos B的值進而得出三角形的面積的值。(2)設出 Δ A B C 的外接圓半徑為 R，利用正弦定理分別求出邊a、b、c的關系式進而得到周長 l = a + b + c = 2 + 2 R sin B + 2 R sin C 整理化簡為同角三角函數2 + 4 sin ( B + ) ，由角的取值范圍借助正弦函數的最值情況求出 sin ( B + ) ∈ ( , 1 ]，進而得出周長的最大值。