Question

已知實數(shù)x，y滿足

x-2y≤0 x+y-5≥0 y-3≤0

在不等式axy≥x²+y²恒成立，則實數(shù)a的最小值是（　　）

Answer 1

分析：作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的△ABC及其內(nèi)部．設(shè)P（x，y）是區(qū)域內(nèi)一個動點，則k=

y

x

為直線OP的斜率，運動點P，可得k∈[

1

2

，

3

2

]．不等式axy≥x²+y²恒成立，可得a≥

y

x

+

x

y

恒成立，結(jié)合前面得到的k的取值范圍，不難得到實數(shù)a的最小值．

解答：解：作出不等式組

x-2y≤0 x+y-5≥0 y-3≤0

表示的平面區(qū)域，
得到如圖的△ABC及其內(nèi)部，
其中A（2，3），B（6，3），C（

10

3

，

5

3

）
∵區(qū)域位于第一象限，
∴不等式axy≥x²+y²恒成立，即a≥

x2+y2

xy

恒成立
令k=

y

x

，設(shè)P（x，y）是區(qū)域內(nèi)一個動點，則k為直線OP的斜率
運動點P，可得當(dāng)P與A重合時，k達到最大值

3

2

；當(dāng)P與C重合時，k達到最小值

1

2

∴k=

y

x

∈[

1

2

，

3

2

]
∵

x2+y2

xy

=

y

x

+

x

y

=k+

1

k

≥2

k• 1 k

=2，當(dāng)且僅當(dāng)k=1時等號成立
∴

x2+y2

xy

的最小值為2，最大值為

1

2

+2=

5

2

因此，axy≥x²+y²恒成立，可得a≥

5

2

實數(shù)a的最小值為

5

2

故選：B

點評：本題給出二元一次不等式組，求使不等式恒成立實數(shù)a的取值范圍，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和不等式恒成立的理解等知識，屬于基礎(chǔ)題．