Question

【題目】已知圓C的圓心在直線3x+y﹣1=0上，且x軸，y軸被圓C截得的弦長分別為2 ，4 ，若圓心C位于第四象限
（1）求圓C的方程；
（2）設x軸被圓C截得的弦AB的中心為N，動點P在圓C內且P的坐標滿足關系式（x﹣1）2﹣y2= ，求 的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設圓C的方程為：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，

根據題意，有

①﹣②得b2=a2+3，…④

由③④得4a2﹣3a﹣1=0，∵a＞0，解得a=1，b=1﹣3a=﹣2，r2=9，

∴圓C的方程為：（x﹣1）2+（y+2）2=9，

（2）解：在圓C的方程：（x﹣1）2+（y+2）2=9中令y=0，

得A（1﹣ ，0），B（1+ ），∴N（1，0）．

∵動點P（x，y）在圓C內，∴（x﹣1）2+（y+2）2＜9…①

將①代入（x﹣1）2﹣y2= 得﹣ ，0

=（1﹣ ﹣x，﹣y）（1+ ﹣x，﹣y）=（x﹣1）2+y2﹣5…②

將（x﹣1）2﹣y2= 代入②得 =2y2﹣ ．

【解析】（1）設圓C的方程為：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2 ， 根據題意，有
由①②③得a=1，b=1﹣3a=﹣2，r2=9，即可得圓的方程；（2）在圓C的方程：（x﹣1）2+（y+2）2=9中令y=0，得A（1﹣ ，0），B（1+ ），N（1，0）．
將x﹣1）2+（y+2）2＜9．（x﹣1）2﹣y2= 代入 =（1﹣ ﹣x，﹣y）（1+ ﹣x，﹣y）=（x﹣1）2+y2﹣5即可求解．