Question

【題目】已知函數f（x）在其定義區間[a，b]上滿足①f（x）＞0；②f′（x）＜0；③對任意的x1 ， x2∈[a，b]，式子 ≤ 恒成立．記S1= f（x）dx，S2= （b﹣a），S3=f（b）（b﹣a），則S1 ， S2 ， S3的大小關系為 ． （按由小到大的順序）

Answer 1

【答案】s3＜s1≤s2
【解析】解：由微積分中值定理：可知若函數 f（x） 在 閉區間[a，b]上連續，則在積分區間[a，b]上至少存在一個點 ξ， 使得： f（x）dx=f（ξ）（b﹣a），a≤ξ≤b，
∵f′（x）＜0，f（x）在定義區間[a，b]單調遞減，f（b）＜f（ξ），
∴s3＜S1 ，
對任意的x1 ， x2∈[a，b]，式子 ≤ 恒成立，
函數圖象可知：當 = 時，
由定積分的幾何意義可知，S1= f（x）dx= （b﹣a）=S2 ，
當 ＜ ，
由函數圖象可知：函數單調遞減且為凹函數，根據定積分的幾何意義可知：
S1= f（x）dx＜ （b﹣a）=S2 ，
∴s1≤s2 ．
綜上可知：s3＜s1≤s2 ．
所以答案是：s3＜s1≤s2 ．
【考點精析】關于本題考查的定積分的概念，需要了解定積分的值是一個常數，可正、可負、可為零；用定義求定積分的四個基本步驟：①分割；②近似代替；③求和；④取極限才能得出正確答案．