Question

已知A，B是橢圓和雙曲線的公共頂點．P是雙曲線上的動點，M是橢圓上的動點（P、M都異于A、B），且滿足，其中λ∈R，設直線AP、BP、AM、BM的斜率分別記為k₁，k₂，k₃，k₄，k₁+k₂=5，則k₃+k₄=________．

Answer 1

-5
分析：設出點P、M的坐標，代入雙曲線和橢圓的方程，再利用已知滿足及其斜率的計算公式即可求出．
解答：∵A，B是橢圓和雙曲線的公共頂點，∴（不妨設）A（-a，0），B（a，0）．
設P（x₁，y₁），M（x₂，y₂），∵，其中λ∈R，∴（x₁+a，y₁）+（x₁-a，y₁）=λ[（x₂+a，y₂）+（x₂-a，y₂）]，化為x₁y₂=x₂y₁．
∵P、M都異于A、B，∴y₁≠0，y₂≠0．∴．
由k₁+k₂==5，化為，（*）
又∵，∴，代入（*）化為．
k₃+k₄==，又，
∴，
∴k₃+k₄===-5．
故答案為-5．
點評：熟練掌握點在曲線上的意義、雙曲線和橢圓的方程、向量的運算性質、斜率的計算公式是解題的關鍵，同時本題需要較強的計算能力．