Question

【題目】已知為正整數，數列滿足，，設數列滿足.

（1）求證：數列為等比數列；

（2）若數列是等差數列，求實數的值；

（3）若數列是等差數列，前項和為，對任意的，均存在，使得成立，求滿足條件的所有整數的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）;

（3）當N*，對任意的N*，均存在N*，使.

【解析】試題分析：（1）將經過移項、兩邊同時除以可得，故可得結論為等比數列；（2）由（1）得，代入得，由數列是等差數列易知，代入可解得，，將其進行檢驗得結果；

（3）由（2）得，利用等差數列前項和公式代入，解出，經討論當時符合題意，當時不符合題意.

試題解析：（1）由題意得，因為數列各項均正，

得，所以，

因此，以是以為首項公比為2的等比數列.

（2）由（1）得，，，

如果數列是等差數列，則，

得：，即，則，

解得 ，.

當時，，

，數列是等差數列，符合題意；

當=12時，，

，，

，數列不是等差數列，=12不符合題意；

綜上，如果數列是等差數列，.

（3）由（2）得，對任意的N*，均存在N*，使，

則，所以.

當，N*，此時，對任意的N*，符合題意；

當，N*，當時，. 不合題意.

綜上，當N*，對任意的N*，均存在N*，使.