Question

設拋物線C的方程為x2=4y，M為直線l：y=-m（m＞0）上任意一點，過點M作拋物線C的兩條切線MA，MB，切點分別為A，B．
（1）當M的坐標為（0，-1）時，求過M，A，B三點的圓的方程，并判斷直線l與此圓的位置關系；
（2）求證：直線AB恒過定點；
（3）當m變化時，試探究直線l上是否存在點M，使△MAB為直角三角形，若存在，有幾個這樣的點，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設過M點的切線方程，代入x²=4y，整理得x²-4kx+4=0，令△=0，可得A，B的坐標，利用M到AB的中點（0，1）的距離為2，可得過M，A，B三點的圓的方程，從而可判斷圓與直線l：y=-1相切；
（2）證法一：設切點分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），過拋物線上點A（x₁，y₁）的切線方程為，代入x²=4y，消元，利用△=0，即可確定，利用切線過點M（x，y），所以可得，同理可得，由此可得直線AB的方程，從而可得結論；
證法二：設過M（x，y）的拋物線的切線方程為（k≠0），代入x²=4y，消去y，利用韋達定理
，確定直線AB的方程，從而可得結論；
證法三：利用導數法，確定切線的斜率，得切線方程，由此可得直線AB的方程，從而可得結論；
（3）由（2）中①②兩式知x₁，x₂是方程的兩實根，故有，從而可得=4m²+m-4m-=（m-1）（+4m），分類討論，利用=0，k_ABk_MA=-1，即可求得結論．
解答：（1）證明：當M的坐標為（0，-1）時，設過M點的切線方程為y=kx-1，代入x²=4y，整理得x²-4kx+4=0，
令△=16k²-16=0，解得k=±1，
代入方程得x=±2，故得A（2，1），B（-2，1），…（2分）
因為M到AB的中點（0，1）的距離為2，
從而過M，A，B三點的圓的方程為x²+（y-1）²=4．
∵圓心坐標為（0，1），半徑為2，∴圓與直線l：y=-1相切…（4分）
（2）證法一：設切點分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），過拋物線上點A（x₁，y₁）的切線方程為，代入x²=4y，整理得x²-4kx+4（kx₁-y₁）=0△=（4k）²-4×4（kx₁-y₁）=0，又因為，所以…（6分）
從而過拋物線上點A（x₁，y₁）的切線方程為即
又切線過點M（x，y），所以得①即…（8分）
同理可得過點B（x₂，y₂）的切線為，
又切線過點M（x，y），所以得②…（10分）
即…（6分）
即點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均滿足即xx=2（y+y），故直線AB的方程為xx=2（y+y）…（12分）
又M（x，y）為直線l：y=-m（m＞0）上任意一點，故xx=2（y-m）對任意x成立，所以x=0，y=m，從而直線AB恒過定點（0，m）…（14分）
證法二：設過M（x，y）的拋物線的切線方程為（k≠0），
代入x²=4y，消去y，得x²-4kx-4（y-kx）=0
∴△=（4k）²+4×4（y-kx）=0即：k²-xk+y=0…（6分）
從而，此時，
所以切點A，B的坐標分別為，…（8分）
因為，，，
所以AB的中點坐標為…（11分）
故直線AB的方程為，即xx=2（y+y）…（12分）
又M（x，y）為直線l：y=-m（m＞0）上任意一點，故xx=2（y-m）對任意x成立，所以x=0，y=m，從而直線AB恒過定點（0，m）…（14分）
證法三：由已知得，求導得，切點分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），故過點A（x₁，y₁）的切線斜率為，從而切線方程為即
…（7分）
又切線過點M（x，y），所以得①即…（8分）
同理可得過點B（x₂，y₂）的切線為，
又切線過點M（x，y），所以得②即…（10分）
即點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均滿足即xx=2（y+y），故直線AB的方程為xx=2（y+y）…（12分）
又M（x，y）為直線l：y=-m（m＞0）上任意一點，故xx=2（y-m）對任意x成立，所以x=0，y=m，從而直線AB恒過定點（0，m）…（14分）
（3）由（2）中①②兩式知x₁，x₂是方程的兩實根，故有
∵，，y=m
∴=4m²+m-4m-=（m-1）（+4m），…（9分）
①當m=1時，=0，直線l上任意一點M均有MA⊥MB，△MAB為直角三角形；…（10分）
②當0＜m＜1時，＜0，∠AMB＞，△MAB不可能為直角三角形；…（11分）
③當m＞1時，＞0，∠AMB＜，．
因為k_AB===，=，
所以k_ABk_MA=
若k_ABk_MA=-1，則，整理得（y+2）=-4，
又因為y=-m，所以（m-2）=4，
因為方程（m-2）=4有解的充要條件是m＞2，所以當m＞2時，有MA⊥AB或MB⊥AB，△MAB為直角三角形…（13分）
綜上所述，當m=1時，直線l上任意一點M，使△MAB為直角三角形，當m＞2時，直線l上存在兩點M，使△MAB為直角三角形；當0＜m＜1或1＜m≤2時，△MAB不是直角三角形．…（14分）
點評：本題考查圓的方程，考查拋物線的切線，考查直線恒過定點，考查三角形形狀的判斷，考查分類討論的數學思想，確定切線方程，及直線AB的方程是關鍵．