Question

求y=

3

2

3

-

1

2

x+

9+x2

的最小值．

Answer 1

考點：函數的最值及其幾何意義

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：求導y′=-

1

2

+

x

x2+9

=

2x- x2+9

2 x2+9

；再令f（x）=2x-

9+x2

，從而求導f′（x）=2-

x

x2+9

=

2 x2+9 -x

x2+9

＞0；從而由導數的正負確定函數的單調性，從而求最值．

解答： 解：∵y=

3

2

3

-

1

2

x+

9+x2

，
∴y′=-

1

2

+

x

x2+9

=

2x- x2+9

2 x2+9

；
令f（x）=2x-

9+x2

，
則f′（x）=2-

x

x2+9

=

2 x2+9 -x

x2+9

＞0；
故f（x）=2x-

9+x2

在R上是增函數，
令2x-

9+x2

=0得，x=

3

；
故當x∈（-∞，

3

）時，y′＜0；
當x∈（

3

，+∞）時，y′＞0；
故當x=

3

時，y=

3

2

3

-

1

2

x+

9+x2

取得最小值為
y_min=

3

2

3

-

1

2

3

+

9+3

=3

3

．

點評：本題考查了導數的綜合應用，屬于中檔題．