Question

已知不等式

x+2

x+1

＜0的解集為{x|a＜x＜b}，點A（a，b）在直線mx+ny+1=0上，其中mn＞0，則

2

m

+

1

n

的最小值為

 

．

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應用

專題：計算題,不等式的解法及應用

分析：不等式

x+2

x+1

＜0的解集為{x|a＜x＜b}，可得a=-2，b=-1，代入直線方程可得m、n的關系，再利用1的代換結合均值不等式求解即可．

解答： 解：不等式

x+2

x+1

＜0的解集為{x|a＜x＜b}，∴a=-2，b=-1，
∵點A（a，b）在直線mx+ny+1=0上，
∴-2m-n+1=0，即2m+n=1，
∵mn＞0，
∴m＞0，n＞0，
∴

2

m

+

1

n

=（

2

m

+

1

n

）（2m+n）=5+

2n

m

+

2m

n

≥5+2

4

=9
當且僅當m=n=

1

3

時取等號，即

2

m

+

1

n

的最小值為9．
故答案為：9．

點評：本題考查了不等式的解法和均值不等式等知識點，運用了整體代換思想，是高考考查的重點內容．