Question

為了考察冰川的融化狀況，一支科考隊在某冰川上相距8km的A，B兩點各建一個考察基地，視冰川面為平面形，以過A，B兩點的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系（下圖）．考察范圍為到A，B兩點的距離之和不超過10km的區域．
(Ⅰ)求考察區域邊界曲線的方程；
(Ⅱ)如圖所示，設線段P₁P₂是冰川的部分邊界線（不考慮其他邊界），當冰川融化時，邊界線沿與其垂直的方向朝考察區域平行移動，第一年移動0.2km，以后每年移動的距離為前一年的2倍，問：經過多長時間，點A恰好在冰川邊界線上？

Answer 1

解：(Ⅰ)設邊界曲線上點P的坐標為(x，y)，則由|PA|+|PB|=10知，點P在以A，B為焦點，長軸長為2a=10的橢圓上，此時短半軸長，
所以考察區域邊界曲線（如圖）的方程為。

 (Ⅱ)易知過點P₁，P₂的直線方程為4x-3y+47=0，
因此點A到直線P₁P₂的距離為，
設經過n年，點A恰好在冰川邊界線上，
則利用等比數列求和公式可得，
解得n=5，即經過5年，點A恰好在冰川邊界線上．