Question

為了考察冰川的融化狀況，一支科考隊在某冰川山上相距8Km的A、B兩點各建一個考察基地，視冰川面為平面形，以過A、B兩點的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系（如圖）．考察范圍到A、B兩點的距離之和不超過10Km的區域．
（1）求考察區域邊界曲線的方程：
（2）如圖所示，設線段P₁P₂（3）是冰川的部分邊界線（不考慮其他邊界），當冰川融化時，邊界線沿與其垂直的方向朝考察區域平行移動，第一年移動0.2km，以后每年移動的距離為前一年的2倍．問：經過多長時間，點A恰好在冰川邊界線上？

Answer 1

分析：（1）設邊界曲線上點P的坐標為（x，y），由|PA|+|PB|=10知，點P在以A、B為焦點、長軸長為2a=10的橢圓上．由此可知考察區域邊界曲線的方程為

x2

25

+

y2

9

=1．
（2）由題意知過點P₁，P₂的直線方程為4x-3y+47=0．因此點A到直線P₁P₂的距離為d=

|-16+47|

16+9

=

31

5

，設經過n年，點A恰好在冰川邊界上，則利用等比數列求和公式可得

0.2(2n-1)

2-1

=

31

5

，由此可知經過5年，點A恰好在冰川邊界上．

解答：解：（1）設邊界曲線上點P的坐標為（x，y），
由|PA|+|PB|=10知，點P在以A、B為焦點、長軸長為2a=10的橢圓上．
此時b=

52-42

=3，
∴考察區域邊界曲線的方程為

x2

25

+

y2

9

=1．
（2）由題意知過點P₁，P₂的直線方程為4x-3y+47=0．
因此點A到直線P₁P₂的距離為d=

|-16+47|

16+9

=

31

5

，
設經過n年，點A恰好在冰川邊界上，
則利用等比數列求和公式可得

0.2(2n-1)

2-1

=

31

5

，
解得n=5，
即經過5年，點A恰好在冰川邊界上．

點評：本題考查橢圓的性質和等比數列的知識，解題時要注意公式的靈活運用．