Question

(滿分12分) 偶函數f(x)的定義域為R，若f(x-1)=f(x+1)對一切x∈R恒成立，又當0≤x≤1時，f(x)=-x²+4.
(1)求證f(x)是周期函數，并確定它的周期；　 (2)求當 1≤x≤2時，f(x)的解析式。

Answer 1

（滿分12分）(1)∵ f(x)定義域為R且f(x-1)=f(x+1)，
　　∴ f(x+2)=f(x+1+1)=f(x+1-1)=f(x)，
　　則f(x)的一個周期為2，且2n(n∈Z，n≠0)都是y=f(x)的周期。
　　(2)設1≤x≤2，則-2≤-x≤-1，因此，0≤2-x≤1，
　　由已知有：f(2-x)=-(2-x)²+4，
　　∵ f(x)的周期為2，且為偶函數，∴ f(2-x)=f(-x)=f(x).
　　∴ 當1≤x≤2時，f(x)=-(2-x)²+4。