Question

【題目】，．

（1）當時，求函數的圖象在處的切線方程．

（2）若函數在定義域上為單調增函數．

①求的最大整數值；

②證明：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）① 2； ②證明見解析.

【解析】

（1）求得時函數的解析式，求得的值，結合直線的點斜式，即可求解；

（2）由題意可得恒成立．

①先證明，設，求得導數和單調性即可作出證明；同理可證得，再討論和，即可求得的最大值．

②由①知，令，可得，得到，利用累加結合等比數列的求和公式，即可求解.

（1）當時，，可得，

又由，則，

則所求切線方程為，即．

（2）由函數，可得，

若函數在定義域上為單調增函數，則恒成立．

①先證明，設，則，

則函數在上單調遞減，在上單調遞增，

所以，即．

同理可證，

所以，所以．

當時，恒成立；

當時，，不恒成立，

經檢驗符合題意.

綜上所述，的最大整數值為2．

②證明：由①知，令，

∴，∴，

由此可知，當時，，

當時，，

當時，，

…，

當時，，

累加得．

又，

∴，

即．