Question

在△ABC中，角A、B、C所對邊分別為a，b，c，已知tanA=

1

2

，tanB=

1

3

，且最長邊的邊長為5．求：
（Ⅰ）角C的正切值及其大小；
（Ⅱ）△ABC最短邊的長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用兩角和與差的正切函數公式列出關系式，將tanA與tanB的值代入求出tanC的值，即可確定出C大小；
（Ⅱ）由tanA與tanB的大小判斷出A與B的大小，得到C為最大角，即c=5，B為最小角，b為最短邊，由tanB的值，求出sinB的值，再由sinC的值，利用正弦定理即可求出最短邊b的值．

解答：解：（Ⅰ）∵tanA=

1

2

，tanB=

1

3

，
∴tanC=tan[π-（A+B）]=-tan（A+B）=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

1 2 + 1 3

1- 1 2 × 1 3

=-1，
∵0＜C＜π，∴C=

3π

4

；
（Ⅱ）∵0＜tanB＜tanA，
∴A、B均為銳角，且B＜A，
又C為鈍角，
∴最短邊為b，最長邊長為c=5，
由tanB=

1

3

，得到cosB=

1 1+tan2B

=

3 10

10

，
∴sinB=

1-cos2B

=

10

10

，
∴由正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

，
得：b=

csinB

sinC

=

5× 10 10

2 2

=

5

．

點評：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正切函數公式，以及同角三角函數間的基本關系，熟練掌握正弦定理是解本題的關鍵．