Question

【題目】已知圓的圓心在射線上，截直線所得的弦長為6，且與直線相切．

（1）求圓的方程；

（2）已知點，在直線上是否存在點（異于點），使得對圓上的任一點，都有為定值？若存在，請求出點的坐標及的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在,為,

【解析】

（1）由題,設圓心為,由相切關系求得半徑,再由弦長公式求出,進而得到圓的方程；

（2）假設存在滿足條件的點和定值,設為,為,利用兩點間距離公式得到,再根據在圓上,待定系數法求得系數的關系,進而求解即可

（1）圓的圓心在射線上,

設圓心為,圓心到直線的距離為,

又圓與直線相切,

,

圓截直線所得的弦長為6,

,則,即,

,解得或（舍）

,圓心為,

圓為

（2）存在,為,,

假設存在直線上點（異于點）,使得對圓上的任一點,都有為定值,

由題,設為,且,,

設為,則,,

則,

整理可得,

在圓上,,即,

,

,解得,此時為