Question

已知函數f(x)＝－x³＋ax²＋bx＋c在(－∞，0)上是減函數，在(0,1)上是增函數，函數f(x)在R上有三個零點，且1是其中一個零點．
(1)求b的值      (2)求f(2)的取值范圍

Answer 1

(1) b＝0(2)

解析試題分析：(1)由，得：，根據題設可判定，從而解得；
(2)由（1）知：，由，所以，
因為函數在(－∞，0)上是減函數，在(0,1)上是增函數，函數f(x)在R上有三個零點，且1是其中一個零點，所以的零點，得到函數解析式所剩唯一參數的取值范圍，進而可求的取值范圍.
試題解析：
(1)∵f(x)＝－x³＋ax²＋bx＋c，
∴f ′(x)＝－3x²＋2ax＋b.     3分
∵f(x)在(－∞，0)上是減函數，在(0,1)上是增函數，
∴當x＝0時，f(x)取到極小值，即f ′(0)＝0，
∴b＝0.      6分
(2)由(1)知，f(x)＝－x³＋ax²＋c，
∵1是函數f(x)的一個零點，即f(1)＝0，∴c＝1－a.
∵f′(x)＝－3x²＋2ax＝0的兩個根分別為x₁＝0，x₂＝.     9分
又∵f(x)在(－∞，0)上是減函數，在(0,1)上是增函數，且函數f(x)在R上有三個零點，
∴應是f(x)的一個極大值點，因此應有x₂＝>1，即a>.
∴f(2)＝－8＋4a＋(1－a)＝3a－7>.
故f(2)的取值范圍為.     13分
考點：導數在研究函數性質中的應用.