Question

在平面直角坐標系xOy中，直線l與拋物線y²＝4x相交于不同的A、B兩點．
（1）如果直線l過拋物線的焦點，求·的值；
（2）如果·＝－4，證明直線l必過一定點，并求出該定點．

Answer 1

（1）；（2）過定點。

解析試題分析：拋物線的焦點在軸上，直線過焦點且與拋物線相交，這條直線可能與垂直，但不可能與垂直，因此這種直線方程可設為的形式，可避免討論斜率存在不存在的問題。直線與拋物線相交于兩點，我們一般設，則，而這里的，可以讓直線方程和拋物線方程聯立方程組得出。（1）中直線方程可設為，（2）中直線方程可設為，（2）與（1）的區別在于最后令，求出。
試題解析：（1）由題意：拋物線焦點為，
設，代入拋物線方程中得，
，
設，則，
∴
。
（2）設，代入拋物線方程中得，
，
設，則，
∴
，
令，∴，，
∴直線過定點，∴若，則直線必過一定點。
考點：直線與拋物線相交問題，與向量的數量積。