Question

已知橢圓的離心率為，直線與以原點為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.
（1）求橢圓的方程；
（2）拋物線與橢圓有公共焦點，設與軸交于點，不同的兩點、在 上（、與不重合），且滿足，求的取值范圍.

Answer 1

（1）橢圓的方程是；（2）的取值范圍是.

解析試題分析：（1）利用直線與以原點為圓心，以橢圓的短半軸長的圓相切，先求出的值，再結合橢圓的離心率求出的值，最終確定橢圓的方程；（2）先設點、，利用向量坐標運算從條件出發，確定與之間的關系，并利用基本不等式求出的取值范圍，并求出的表達式，利用二次函數的單調性求出的取值范圍.
試題解析：（1）由直線與圓相切，得，
由，得，所以，
所以橢圓的方程是；
（2）由，故的方程為，
易知，設、，
∴，
由，得，
，所以，
 ，當且僅當，即時等號成立．
又，
，所以當，即時，，
故的取值范圍是.
考點：1.橢圓的方程；2.平面向量的坐標運算；3.基本不等式