Question

【題目】已知橢圓的長軸長為，焦距為2，拋物線的準線經過橢圓的左焦點.

（1）求橢圓與拋物線的方程；

（2）直線經過橢圓的上頂點且與拋物線交于，兩點，直線，與拋物線分別交于點（異于點），（異于點），證明：直線的斜率為定值.

Answer 1

【答案】（1）橢圓的方程為，拋物線的方程為；（2）見試題解析．

【解析】

（1）由題意可得，的值，運用，求得，可得橢圓的方程.由拋物線的準線經過橢圓的左焦點，求得，即可得拋物線的方程.

（2）設直線的方程為，與拋物線的方程聯立，消去，可得，設，，，，即，，直線方程為，直線方程為，聯立即，則，為方程兩根，解得，同理，計算即可.

（1）由題意可知，，即，，

橢圓的方程為

拋物線的準線經過橢圓的左焦點

即

拋物線的方程為.

（2）由題意可設直線的方程為，

則，即

直線與拋物線交于，兩點

，解得且

設，，，則，為方程的兩根，即，

直線方程為：，直線方程為：

將直線方程與拋物線的方程聯立

即，則與是該方程兩根.

所以，即

同理：直線方程為：時

所以，直線的斜率為定值.