Question

【題目】已知函數

（1）證明:函數在區間存在唯一的極小值點，且；

（2）證明:函數于有且僅有兩個零點.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）由導數的應用，先求函數的導函數，再研究導函數的正負號即可，

因為為增函數，因為，，由零點定理運算可得存在唯一的使得，即可得證；

（2）由特值法可得是函數的一個零點，

再討論當時，由指數函數的值域及三角函數的有界性可得函數沒有零點；然后討論時，結合（1）及零點定理可得在區間上有且僅有一個零點，在無零點，綜上即可得證.

證明：（1）由.

令，

當時，函數為增函數，指數函數也為增函數，

故當時，函數為增函數.

又因為，可得，

有，

，

故存在唯一的使得.

所以當時，，即；

當時，，即，

所以函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

所以函數在區間存在唯一的極小值點，且

（2）①由，可得是函數的一個零點；

②當時，，，可得，此時函數沒有零點；

③當時，由，

由（1）知，，可得函數在區間上有且僅有一個零點，在無零點，

綜上，函數有且僅有兩個零點.