Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn+n=2an（n∈N*）．

（1）證明：數列{an+1}為等比數列，并求數列{an}的通項公式；

（2）若bn=（2n+1）an+2n+1，數列{bn}的前n項和為Tn．求滿足不等式＞2010的n的最小值．

Answer 1

【答案】（1）an=2n-1，n∈N*；（2）n的最小值為10.

【解析】試題分析：本題屬于基礎題.對已知條件，用代替得，兩式相減可得，湊配得，由此可證得是等比數列，從而求出通項公式，這是已知數列前項和與項之間關系的一般處理方法；（2）由（1）可得，采用錯位相減法可求出其前項和 ，不等式>2 010就轉化為，可知n的最小值是10.

試題解析：(1)因為Sn＋n＝2an，所以Sn－1＝2an－1－(n－1)(n≥2，n∈N*)．兩式相減，得an＝2an－1＋1.

所以an＋1＝2(an－1＋1)(n≥2，n∈N*)，所以數列{an＋1}為等比數列．

因為Sn＋n＝2an，令n＝1得a1＝1.

a1＋1＝2，所以an＋1＝2n，所以an＝2n－1.

(2)因為bn＝(2n＋1)an＋2n＋1，所以bn＝(2n＋1)·2n.

所以Tn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n－1)·2n－1＋(2n＋1)·2n， ①

2Tn＝3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n＋(2n＋1)·2n＋1， ②

①－②，得－Tn＝3×2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n＋1)·2n＋1

＝6＋2×－(2n＋1)·2n＋1

＝－2＋2n＋2－(2n＋1)·2n＋1＝－2－(2n－1)·2n＋1.

所以Tn＝2＋(2n－1)·2n＋1.

若>2 010，

則>2 010，即2n＋1>2 010.

由于210＝1 024,211＝2 048，所以n＋1≥11，即n≥10.

所以滿足不等式>2 010的n的最小值是10.