Question

【題目】如圖，在梯形中，，，四邊形

為矩形，平面平面，.

（I）求證：平面；

（II）點在線段上運動，設平面與平面所成二面角的平面角為，

試求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；(2).

【解析】

(1)由題意結(jié)合勾股定理和余弦定理可證得BC⊥AC，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理可得BC⊥平面ACFE.

(2)以CA,CB,CF所在的直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,由題意可得平面MAB的一個法向量n1=(1,,-λ)，平面FCB的一個法向量n2=(1,0,0)，則 cosθ=，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得cosθ∈[,].

(1)在梯形ABCD中,∵AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,

∴AB=2,∴AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos 60°=3,

∴AB2=AC2+BC2,∴BC⊥AC.

又平面ACFE⊥平面ABCD,平面ACFE∩平面ABCD=AC,BC平面ABCD,

∴BC⊥平面ACFE.

(2)由(1)知,可分別以CA,CB,CF所在的直線為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,

令FM=λ(0≤λ≤),則C(0,0,0),A(,0,0),B(0,1,0),M(λ,0,1),

∴=(-,1,0),=(λ,-1,1).

設n1=(x,y,z)為平面MAB的法向量,

由,得,

取x=1,則n1=(1,,-λ)為平面MAB的一個法向量,

易知n2=(1,0,0)是平面FCB的一個法向量,

∴ cosθ=.

∵0≤λ≤, ∴當λ=0時,cosθ有最小值, 當λ=時,cosθ有最大值,∴cosθ∈[,].